Нет, по закону вы ничего не должны водителю. Скорее всего, заказывая перевозку пианино у частника, вы не подписывали никаких договоров. А значит, владелец автомобиля не сможет подать на вас иск в суд.
Стойте на своем и не отдавайте денег за ремонт. Однако если при перевозке пострадал ваш инструмент, вы также не сможете получить компенсацию – ведь документов, подтверждающих факт оказания услуги, у вас нет.